DSP 2022 试题

一、选择题

1

序列 ${\displaystyle x[n]=0.3\sin (0.3\pi n-\frac{10\pi }{3})}$$\displaystyle x[n]=0.3 \sin \left(0.3\pi n-\frac{10\pi}{3}\right)$ 的周期是：

• 3

• 10

• 20

• 30

周期：$0.3\pi (n+N)=0.3n+2k\pi$$0.3\pi(n+N)=0.3n+2k\pi$，取 $N=20$$N=20$.

2

设系统的输入 $x[n]$$x[n]$ 和输出 $y[n]$$y[n]$ 满足关系 $y[n]=\sin \left(\frac{2n+1}{2}\pi \right)x[n]$$y[n]=\sin \left(\frac{2n+1}{2}\pi\right)x[n]$，则下列说法错误的是（B）

• 该系统是线性系统

• 该系统是时不变系统

• 该系统是因果系统

• 该系统是稳定系统

化简 $\sin \left(\frac{2n+1}{2}\pi \right)$$\sin \left(\frac{2n+1}{2}\pi\right)$ 为 $(-1{)}^{n+1}$$(-1)^{n+1}$。

• 线性系统：

  $$\begin{array}{c}{x}_1[n]\to (-1{)}^{n+1}{x}_1[n]\\ x_2[n]\to (-1{)}^{n+1}{x}_2[n]\end{array}$$
  $$(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n])\to (-1{)}^{n+1}(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n])$$

• 时不变系统：

  $$\begin{array}{c}x[n]\to (-1{)}^{n+1}x[n]\\ x[n+n_0]\to (-1{)}^{n+1}x[n+n_0]\ne (-1{)}^{n+n_0+1}x[n+n_0]\end{array}$$

• 因果系统：$y[n]$$y[n]$ 没有用到 $x[n]$$x[n]$ 在 $n$$n$ 之前的信息，因此是因果系统；

• 稳定系统：$x[n]$$x[n]$ 有界推出 $y[n]$$y[n]$ 有界。

3

序列 $x[n]=-{10}^{n}u[-n-1]$$x[n]=-10^n u[-n-1]$ 的 Z 变换和收敛域是（A）

• ${\displaystyle X(z)=\frac{1}{1-10z^{-1}},|z|<10}$$\displaystyle X(z)=\frac{1}{1-10z^{-1}},|z|<10$;

• ${\displaystyle X(z)=\frac{1}{1+10z^{-1}},|z|<10}$$\displaystyle X(z)=\frac{1}{1+10z^{-1}},|z|<10$;

• ${\displaystyle X(z)=\frac{1}{1-10z^{-1}},|z|>10}$$\displaystyle X(z)=\frac{1}{1-10 z^{-1}},|z|>10$;

• ${\displaystyle X(z)=\frac{1}{1+10z^{-1}},|z|>10}$$\displaystyle X(z)=\frac{1}{1+10z^{-1}},|z|>10$.

收敛域：$|z|<10$$|z|<10$，$|10z^{-1}|>1$$|10z^{-1}|>1$.

4

已知因果序列 $y[n]=x[n]\ast u[n]$$y[n]=x[n]*u[n]$，且有 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}y[n]=0}$$\displaystyle\lim_{n\to \infin} y[n]=0$，设 $x[n]$$x[n]$ 的 Z 变换为 $X(z)$$X(z)$，则可以断定（）

• $X(z)$$X(z)$ 在 $z=0$$z=0$ 处有极点；

• $X(z)$$X(z)$ 在 $z=1$$z=1$ 处有极点；

• $X(z)$$X(z)$ 在 $z=0$$z=0$ 处有零点；

• $X(z)$$X(z)$ 在 $z=1$$z=1$ 处有零点。

通过 $y[n]=x[n]\ast u[n]$$y[n]=x[n]*u[n]$ 可知，

因此，

因此，$X(z)$$X(z)$ 在 $z=1$$z=1$ 处有零点。

5

下列说法正确的是：

• 序列绝对可和是傅里叶变换存在的充要条件;

• 序列平方可和是傅里叶变换存在的充要条件;

• 序列的傅里叶变换是单位圆上的 Z 变换;

• 序列的 Z 变换收敛是傅里叶变换存在的充分条件.

序列的 Z 变换收敛，但是在单位圆之外的区域收敛，此时傅里叶变换不存在。

6

设广义线性相位系统的单位脉冲响应 $h[n]=\delta [n]-\delta [n-3]$$h[n]=\delta[n]-\delta[n-3]$，则其系统函数 $H(z)$$H(z)$ 具有零点（B）

• $z=-1$$z=-1$

• $z=1$$z=1$

• $z=\pm 1$$z=\pm 1$

• $z=j$$z=j$

7

若连续时间信号为 $x_c(t)=\cos ({\mathrm{\Omega }}_{0}t),-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$$x_c(t)=\cos (\Omega_0 t),-\infin<t < \infin$，用采样率 3000Hz 对其采样得到序列 $x[n]=\cos \left(\frac{\pi }{3}n\right),-\mathrm{\infty }<n<\mathrm{\infty }$$x[n]=\cos\left(\frac{\pi}{3}n\right),-\infin<n<\infin$，则 ${\mathrm{\Omega }}_0$$\Omega_0$ 可能的取值为：

• $6000\pi$$6000\pi$;

• $7000\pi$$7000\pi$;

• $8000\pi$$8000\pi$;

• 以上答案都不对

采样点 $t_s=\frac{{\mathrm{\Omega }}_{0}n}{f_0}$$t_s=\frac{\Omega_0 n}{f_0}$，需要满足：

因此 ${\mathrm{\Omega }}_0$$\Omega_0$ 可以取 $7000\pi$$7000\pi$.

8

以下说法错误的是（）

• 采样率按整数因子 100 降低，抽选后信号的傅里叶变换仍然以 $2\pi$$2\pi$ 为周期;

• 采样率按整数因子 100 降低，信号的幅度变成了抽选前的 100 倍，频率降低为 1/100;

• 采样率按整数因子 100 升高，采样周期从 $T$$T$ 减小到了 $T^{\prime }=T/100$$T'=T/100$;

• 采样率按整数因子 100 升高，为了消除高频镜像频谱，可以构造截止频率是 $\pi /100$$\pi/100$，增益是 100 的 低通反镜像离散时间滤波器.

解释：假设原信号最高频率为 ${\mathrm{\Omega }}_h$$\Omega_h$，原采样频率为 ${\mathrm{\Omega }}_s$$\Omega_s$，则临界不失真采样条件为：

现采样频率为 $100{\mathrm{\Omega }}_s$$100\Omega_s$，现在

但是采样可能采样到比 $\pi /100$$\pi/100$ 高频的信号，因此需要构造低通滤波器过滤高频信号。

9

以下说法正确的是（）

• 序列的虚部的 DFT 是周期共轭对称的;

• 序列的实部的 DFT 是该序列 DFT 的周期共轭反对称分量;

• 周期序列的实部的 DFS 是该周期序列 DFS 的共轭对称分量;

• 任意实周期序列的 DFS 一定是共轭反对称序列.

序列的虚部的 DFT 对应周期共轭反对称分量，实部 DFT 对应周期共轭对称分量。

10

下图所示信号流图需要几次实数乘法，几次实数加法，几次延迟？

1, 2, 2（乘以负一不算实数乘法）

二、填空题

1

线性常系数方程为 ${\displaystyle y[n]-y[n-1]+\frac{1}{2}y[n-2]=x[n]}$$\displaystyle y[n]-y[n-1]+\frac{1}{2}y[n-2]=x[n]$，设输入是 $x[n]=\delta [n]$$x[n]=\delta[n]$，初始条件是 $y[n]=0,n<0$$y[n]=0,n<0$，则 $y[2]=\underset{―}{0.5}$$y[2]=\underline{0.5}$.

2

$X(z)=(1-2z)(1+3z^{-1})(1-z^{-1})$$X(z)=(1-2z)(1+3z^{-1})(1-z^{-1})$ 的反变换为 $x[n]=\underset{―}{-2\delta [n+1]-3\delta [n]+8\delta [n-1]-3\delta [n-2]}$$x[n]=\underline{-2\delta[n+1]-3\delta[n]+8\delta[n-1]-3\delta[n-2]}$.

3

${\displaystyle X(e^{j\omega })=\frac{1}{1-8e^{-j\omega 3}}}$$\displaystyle X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-8e^{-j\omega3}}$ 的反变换为 $x[n]=\underset{―}{}$$x[n]=\underline{}$.

4

频率为 ${\omega }_0$$\omega_0$ 的复指数序列 $x[n]=e^{j{\omega }_{0}n},-\mathrm{\infty }<n<\mathrm{\infty }$$x[n]=e^{j\omega_0 n},-\infin<n<\infin$，经过频率响应为 $H(e^{j\omega })$$H(e^{j\omega})$ 的 LTI 系统，则输出信号 $y[n]=\underset{―}{H(e^{j{\omega }_0})e^{j{\omega }_{0}n}}$$y[n]=\underline{H(e^{j\omega_0}) e^{j\omega_0 n}}$.

因为 $e^{j{\omega }_{0}n}$$e^{j\omega_0 n}$ 是 LTI 系统的特征序列，则

$$x[n]=\sum _k{a}_k{z}_k^n⟶y[n]=\sum _{k}H(z_k)a_k{z}_k^n$$

5

对采样率为 32 kHz 的音乐信号按下图实现采样率按非整数因子变化后，系统变成采样率为 48 kHz 的信号，则低通滤波器的截止频率取为 $\underset{―}{\pi /3}$$\underline{\pi/3}$.

• $L$$L$ 取为 $3$$3$，原来 $T=1/32k$$T=1/32k$，经过 $T/L=1/96k$$T/L=1/96k$.

• $M$$M$ 取为 $2$$2$，原来 $T/L=1/96k$$T/L=1/96k$，经过 $TM/L=1/48k$$TM/L=1/48k$.

低通滤波器：$\pi /I=\pi /3$$\pi/I=\pi/3$.

6

已知实序列 $x[n]$$x[n]$ 的 8 点 DFT $X[k]$$X[k]$ 的前 5 点为 $\{1,2+3j,4+5j,6+7j,7\}$$\{1,2+3j,4+5j,6+7j,7\}$，则 $x_1[n]=x[n]e^{j\pi n/2}$$x_1[n]=x[n]e^{j\pi n/2}$ 的 8 点 DFT $X_1[k]=\underset{―}{}$$X_1[k]=\underline{}$.

根据实序列的 DFT 是周期共轭对称的，所以

因此，

7

利用频域抽选基 2FFT 算法计算 32 点 DFT，需要蝶形运算的个数为 $\underset{―}{80}$$\underline{80}$.

${\log }_{2}32=5$$\log_232=5$ 层，每层 $32/2=16$$32/2=16$ 个，一共 80 个。

8

对于 $N=16$$N=16$ 的 FFT，输出倒位序排列，排在输出 $X[2]$$X[2]$ 后面的是 $\underset{―}{X[10]}$$\underline{X[10]}$.

9

需要设计通带截止频率为 ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$\displaystyle \frac{\pi}{8}$ 弧度的离散时间滤波器，采用脉冲响应不变法，设 $T_d=1\mathrm{ms}$$T_d=1\mathrm{~ms}$，则原型连续时间滤波器的通带截止频率为 $\underset{―}{62.5\mathrm{Hz}}$$\underline{62.5\mathrm{~Hz}}$.

频率关系：

10

设 IIR 系统具有有理系统函数 ${\displaystyle H(z)=\frac{\sum _{k=0}^6{b}_k{z}^{-k}}{1-\sum _{k=1}^5{a}_k{z}^{-k}}}$$\displaystyle H(z)=\frac{\sum_{k=0}^6 b_k z^{-k}}{1-\sum_{k=1}^5 a_k z^{-k}}$，其中 $a_k,b_k$$a_k,b_k$ 是有理数，如果采用直接 II 型结构实现则需要的延迟数目是 $\underset{―}{6}$$\underline{6}$.

需要的延时个数：$max(6,5)=6$$\max(6,5)=6$.

三、简答题

1. 简述离散时间系统的因果性和稳定性；

   输出变化不会发生在输入变化之前的系统称为因果系统

   对任意的有界输入都产生有界输出的系统称为稳定系统

2. 简述奈奎斯特采样定理；

   若 $x_a(t)$$x_a(t)$ 是一个带限信号，最高频率为 ${\mathrm{\Omega }}_h$$\Omega_h$，则 $x_a(t)$$x_a(t)$ 能由它的样本 $x[n]=x_a(nT),n=0,\pm 1,\pm 2\cdots$$x[n]=x_a(nT),n=0,\pm1,\pm2\cdots$ 完全不失真地重构的条件是 ${\mathrm{\Omega }}_s=2\pi /T\ge 2{\mathrm{\Omega }}_h$$\Omega_s=2\pi /T\ge 2\Omega_h$. 其中 $2{\mathrm{\Omega }}_h$$2\Omega_h$ 又被称为奈奎斯特率。

3. 画出时域抽选基2FFT算法过程中的基本蝶形运算信号流图；

4. 用直接II型结构实现以下系统函数：

   $$H(z)=\frac{1-2z^{-1}-3z^{-2}-4z^{-3}}{5+6z^{-1}+7z^{-2}+8z^{-3}}$$

   只需写成 ${\displaystyle H(z)=\frac{\sum _{k=0}^N{b}_k{z}^{-k}}{1-\sum _{k=0}^M{a}_k{z}^{-k}}}$$\displaystyle H(z)=\frac{\sum_{k=0}^N b_k z^{-k}}{1-\sum_{k=0}^M a_k z^{-k}}$ 的结构即可。

   

四、解答题

1

设序列 $x[n]=n+1,0\le n\le 3$$x[n]=n+1,0\le n\le 3$，序列 $h[n]=n-1,0\le n\le 3$$h[n]=n-1,0\le n\le 3$，序列 $x[n]$$x[n]$ 和序列 $h[n]$$h[n]$ 的 4 点循环卷积 $y[n]=x[n]\mathrm{④}h[n]$$y[n]=x[n]④h[n]$，计算 $y[0]$$y[0]$ 和 $y[1]$$y[1]$ 的值。

2

已知周期序列 ${\displaystyle \tilde{x}[n]=\sum _{k=0}^4\cos (0.2\pi kn)}$$\displaystyle \tilde{x}[n]=\sum_{k=0}^4 \cos (0.2\pi kn)$.

1. 写出 $\tilde{x}[n]$$\tilde{x}[n]$ 的周期.

   $$\tilde{x}[n]={\displaystyle \sum _{k=0}^4\cos \left(\frac{2\pi }{10}kn\right)}$$
   $$\tilde{x}[n+N]=\tilde{x}[n]$$
   $$N=10$$

2. 写出 $\tilde{x}[n]$$\tilde{x}[n]$ 的离散傅里叶级数 $\tilde{X}[k]$$\tilde{X}[k]$ 在区间 $0\le k\le N-1$$0\le k\le N-1$ 的值。

   利用线性性可以拆分为 5 个序列：

   $${\tilde{x}}_k=\cos \left(\frac{2\pi }{10}kn\right)$$

   根据 ${\displaystyle \cos \left(\frac{2\pi }{10}kn\right)=\frac{1}{2}(\exp \left(j\frac{2\pi }{10}kn\right)+\exp (-j\frac{2\pi }{10}kn))}$$\displaystyle \cos\left(\frac{2\pi}{10}kn\right)=\frac{1}{2}\left(\exp\left(j\frac{2\pi}{10}kn\right) +\exp\left(-j\frac{2\pi}{10}kn\right)\right)$.

   $$\cos \left(\frac{2\pi }{10}kn\right)=\frac{1}{2}{W}_{10}^{-kn}+\frac{1}{2}{W}_{10}^{kn}=\frac{1}{2}{W}_{10}^{(N-k)n}+\frac{1}{2}{W}_{10}^{kn}$$

   根据 IDFT 公式，

   $$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}$$
   $$\begin{array}{c}{X}_0=\{10,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}\\ X_1=\{0,5,0,0,0,0,0,0,0,5\}\\ X_2=\{0,0,5,0,0,0,0,0,5,0\}\\ X_3=\{0,0,0,5,0,0,0,5,0,0\}\\ X_4=\{0,0,0,0,5,0,5,0,0,0\}\end{array}$$

   根据线性性，

   $$X=\{10,5,5,5,5,0,5,5,5,5\}$$

3

考虑如下图所示系统，已知 $x_c(t)$$x_c(t)$ 带限到 10kHz，离散时间系统是一个 ${\displaystyle \frac{\pi }{16}\mathrm{rad}/\mathrm{s}}$$\displaystyle \frac{\pi}{16}\mathrm{~rad/s}$ 的理想低通滤波器。

1. 为了避免在 C/D 转换中发生混叠，$T$$T$ 的最大取值时多少？

   根据 Nyquist 采样定律，

   $$f_s\ge 2f_h=20\mathrm{kHz}$$
   $$T_{max}=\frac{1}{20000}\mathrm{s}$$

2. 若 ${\displaystyle \frac{1}{T}=32\mathrm{kHz}}$$\displaystyle \frac{1}{T}=32\mathrm{~kHz}$，等效连续时间滤波器的截止频率是多少？

   经过理想低通滤波器的最小周期：

   $$N_{min}=\frac{2\pi }{\pi /16}=32$$

   采样前对应的周期为：

   $$T^{\prime }=T{N}_{min}=1\mathrm{ms}$$

   因此截止频率为 $1\mathrm{kHz}$$1\mathrm{~kHz}$.

3. 要想使等效连续时间滤波器的截止频率是 5kHz，则 $T$$T$ 的取值是多少？

   $$T^{\prime }=T{N}_{min}=0.2\mathrm{ms}$$
   $$T=160\mathrm{kHz}$$

4

设序列 $x_1[n]=\{1,5,5,1\},x_2[n]=\{1,0,5,0,5,0,1,0\}$$x_1[n]=\{1,5,5,1\},x_2[n]=\{1,0,5,0,5,0,1,0\}$.

1. 利用频域抽选基 2FFT 算法计算 $x_1[n]$$x_1[n]$ 的 4 点 DFT $X_1[k](k=0,1,2,3)$$X_1[k](k=0,1,2,3)$，并画出信号流图。

2. 利用 $X_1[k]$$X_1[k]$ 计算 $x_2[n]$$x_2[n]$ 的 8 点 DFT $X_2[k](0\le k\le 7)$$X_2[k](0\le k\le 7)$.

5

已知连续时间巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为 ${\displaystyle |H_c(j\mathrm{\Omega }){|}^2=\frac{1}{1+(\mathrm{\Omega }/{\mathrm{\Omega }}_c{)}^{2N}}}$$\displaystyle |H_c(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+(\Omega/\Omega_c)^{2N}}$，其中 $N$$N$ 为滤波器阶数，${\mathrm{\Omega }}_c$$\Omega_c$ 为常数。设取样间隔为 $T_d$$T_d$.

1. 采用脉冲响应不变法设计一个离散时间滤波器，给出离散时间滤波器的 3dB 截止频率和幅度平方函数（忽略频响混叠）；

   $$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Omega }=\omega /T_d}}$$
   $$|H(e^{j\omega }){|}^2\approx |H_c(j\mathrm{\Omega }){|}_{\mathrm{\Omega }=\omega /T_d}^2=\frac{1}{1+[\omega /({\mathrm{\Omega }}_c{T}_d){]}^{2N}}$$

   令 $|H(e^{j\omega }){|}^2=1/2$$|H(e^{j\omega})|^2=1/2$，得到 3dB 截止频率 ${\mathrm{\Omega }}_c{T}_d$$\Omega_c T_d$.

2. 采用双线性变换法设计一个离散时间滤波器，给出离散时间滤波器的 3dB 截止频率和幅度平方函数。

   $$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Omega }=\frac{2}{T_d}\tan \frac{\omega }{2}}}$$

   令 $|H(e^{j\omega }){|}^2=1/2$$|H(e^{j\omega})|^2=1/2$，得到 3dB 截止频率 ${\displaystyle 2\arctan \left(\frac{T_d}{2}{\mathrm{\Omega }}_c\right)}$$\displaystyle 2\arctan \left(\frac{T_d}{2}\Omega_c\right)$.

6

已知 FIR 滤波器的系统函数为 ${\displaystyle H(z)=\frac{1}{7}+\frac{2}{7}{z}^{-1}+\frac{3}{7}{z}^{-2}-\frac{3}{7}{z}^{-4}-\frac{2}{7}{z}^{-5}-\frac{1}{7}{z}^{-6}}$$\displaystyle H(z)=\frac{1}{7}+\frac{2}{7}z^{-1}+\frac{3}{7}z^{-2}-\frac{3}{7}z^{-4}-\frac{2}{7}z^{-5}-\frac{1}{7}z^{-6}$.

1. 判断该滤波器是否具有广义线性相位；（具有）

2. 写出 $H(z)$$H(z)$ 任意两个零点（$z=1,z=-1$$z=1,z=-1$）

3. 画出线性相位结构图。